Teorema del Coseno

Teorema del coseno

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores

α

β

γ

(son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente).

Entonces, se cumplen las relaciones

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Haremos la demostración por el teorema de Pitágoras, pero demostraremos únicamente la fórmula

$�^{2} = �^{2} + �^{2} - 2 � � \cdot � � � (�)$

para el caso en el que el lado b es adyacente a dos ángulos agudos (como en la imagen siguiente). En los otros casos, se procede de forma similar.

Hemos dividido el triángulo en dos triángulos rectángulos. Observemos que el lado c es

de donde

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la izquierda, obtenemos la relación

y aplicando Pitágoras al triángulo de la derecha,

Escribimos en esta última relación y como c - x:

Sumamos las dos relaciones obtenidas:

Simplificamos la expresión:

Finalmente, puesto que el triángulo de la derecha es rectángulo, por definición del coseno,

Despejamos x:

Sustituimos esta x en la expresión que teníamos:

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