Teorema del Coseno

Teorema del coseno

Sea un triángulo cualquiera con lados a, b y c y con ángulos interiores

α

β

γ

(son los ángulos opuestos a los lados, respectivamente).

Entonces, se cumplen las relaciones

El teorema del coseno (con demostración). Problemas resueltos de aplicación del teorema del coseno: calcular lados, ángulos y áreas de triángulos. Problemas resueltos y explicados paso a paso. Trigonometría. Bachiller.

Haremos la demostración por el teorema de Pitágoras, pero demostraremos únicamente la fórmula

$�^{2} = �^{2} + �^{2} - 2 � � \cdot � � � (�)$

para el caso en el que el lado b es adyacente a dos ángulos agudos (como en la imagen siguiente). En los otros casos, se procede de forma similar.

Hemos dividido el triángulo en dos triángulos rectángulos. Observemos que el lado c es

de donde

Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de la izquierda, obtenemos la relación

y aplicando Pitágoras al triángulo de la derecha,

Escribimos en esta última relación y como c - x:

Sumamos las dos relaciones obtenidas:

Simplificamos la expresión:

Finalmente, puesto que el triángulo de la derecha es rectángulo, por definición del coseno,

Despejamos x:

Sustituimos esta x en la expresión que teníamos:

Entradas populares de este blog

Clasificación de triángulos según sus lados

Clasificación de los triángulos según sus lados Triángulo equilátero: Los triángulos equiláteros son aquellos que tienen sus tres lados iguales, y debido a que tienen sus tres lados iguales también tienen sus tres ángulos iguales. Construcción: Triángulo isósceles: Los triángulos isósceles son aquellos que tienen sólo dos de sus lados iguales. Construcción: Triángulo escalen o: Los triángulos escalenos son aquellos que tienen sus tres lados desiguales. . Construcción:

Un poco de historia matemática

¿Quién fue Pitágoras? Pitágoras de Samos (570 a.C.-490 a.C.) fue un filósofo presocrático, considerado el padre de las matemáticas y fundador del pitagorismo, un movimiento filosófico. Contribuyó significativamente al desarrollo de los principios matemáticos de su época, de la aritmética, la geometría, la cosmología y la teoría musical. La doctrina de Pitágoras es una combinación de mística y matemáticas. Los pitagóricos se interesaban a partes iguales por la religión y la ciencia, que eran indivisibles y formaban parte del mismo estilo de vida. Se preocuparon por desentrañar los misterios del universo y el destino del alma al mismo tiempo. Cabe destacar que no se ha conservado ningún texto original de Pitágoras. Todo lo que sabemos de él proviene de fuentes históricas secundarias y a veces contradictorias entre sí. Además, los miembros de la sociedad que fundó, profesando una infinita admiración hacia su maestro, se dieron a la tarea de atribuirle todos los descubrimi...

Clasificación de triángulos según su ángulo

Los ángulos de los triángulos Los triángulos, como se puede intuir por su nombre, tienen siempre tres ángulos. Estos ángulos siempre suman 180º, sin importar de qué tipo de triángulo estemos hablando. Los obtusángulos Los rectángulos Los acutángulos Triángulo rectángulo: Son triángulos que tienen un ángulo recto (de 90 grados). En este caso, y para profundizar en la teoría, el lado opuesto a este ángulo de 90 tiene el nombre de hipotenusa y los otros dos lados se le llama catetos. Hay que tener en cuenta, que la hipotenusa siempre será mayor que los catetos de este triángulo. Asimismo, en un triángulo rectángulo los dos ángulos agudos (menores de 90 grados) son complementarios y su suma siempre debe dar en 90 grados. Triángulos acutángulos: Son triángulos que están formados por tres ángulos agudos; es decir, todos sus ángulos miden menos de 90 grados. Triángulos obtusángulos: Como su nombre lo indica, son triángulos que tienen un ángulo obtuso; es decir, mayor de 90 grados....

MateAyudas

Buscar este blog